مقالات علمی هندسه


مقالات علمی هندسه



هندسه‌ نااقلیدسی هندسه‌هایی که اقلیدسی نیستند از مطالعهٔ عمیق‌تر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شده‌اند. دو نیم‌خط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار شماره 1 در نظر بگیرد. در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ p تا Q باقی می‌مانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسه‌ی دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن") که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها افزایش می‌یابد و دیگری هندسهٔ بیضوی (elliptic geometry) (از کلمهٔ یونانی ایپلن "کوتاه شدن") که در آن فاصله رفته رفته کم می‌شود و سرانجام نیم‌خط‌ها هم‌دیگر را می‌برند. این هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط ک.ف. گاوس و گ. ف. ب. ریمان در قالب هندسهٔ کلیتری بسط داده شدند. (همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده برنامه گرفته است.)



سوالی که برق را از سر همه میپراند.

1:

هندسه اقلیدسی نام شاخه‌ای از ریاضیات هست که به بررسی موجودات ریاضی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده هست.


Math Coach
بخش بزرگی از هندسه اقلیدسی همان هست که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود.


101Short Cuts in Math Anyone Can do
تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود.


Matrix Analysis for Statistics
بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند.


Core Mathematics 2
این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان اون را هندسه اقلیدسی نامید.

اقلیدس دستگاه هندسی خود را بر پایه پنج فرض (یا به اصطلاح رایج امروز پنج اصل موضوع یا پنج بنداشت) و پنج اصل متعارفی تعریف کرد.


Algorithms and Computation in Mathematics - Computability of Julia Sets
پنج اصل هندسه اقلیدسی این‌ها هست:

هر دو نقطه را می‌توان با یک خط به‌هم وصل کرد.


Growing Ideas of Numbers

هر پاره خط راست را می‌توان بینهایت از دو طرف ادامه داد.


Cyclopedia of Five Thousand Puzzles , Tricks and Conundrums

با داشتن یک پاره خط دایره‌ای می‌توان رسم کرد که مرکزش یک انتهای پاره خط و شعاعش طول پاره خط باشد.


تمام زاویه‌های قائمه هم‌نهشت‌اند.


اگر دو خط را چنان رسم کنیم که خط سومی را به نحوی قطع نمايند که مجموع زاویه‌های داخلی یک سمت کمتر از دو قائمه باشد اونگاه این دو خط یکدیگر را قطع می‌نمايند.


2:

اصل موضوع چهارم اقلیدس

همهٔ زوایای قائمه با یک‌دیگر قابل انطباق اند.



اصل پنجم اقلیدس

اقلیدس در کتاب اصول اقلیدس هنگامی که بنیاد هندسه‌یی را می‌گذاشت، که به مدت بیش از دو هزار سال تنها هندسهٔ موجود بود، پنج اصل موضوع و پنج اصل متعارفی را به عنوان اصول بدیهی و بدون نیاز به اثبات پذیرفت تا بتواند بقیه قضایای هندسی را اثبات کند.

اصل پنجم اون‌گونه که اقلیدس بیان کرد این‌گونه هست: اگر دو خط راست به‌وسیلهٔ یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفی از خط سوم که زوایای داخلی، مجموع کوچک‌تر از دوقائمه تشکیل می‌دهند یک‌دیگر را قطع می‌نمايند.

این اصل در شکل امروزی اون اینگونه بیان می‌شود: اگر دو خط به وسیلهٔ موربی چنان قطع شوند که مجموع اندازهٔ درجه‌های دو زاویهٔ درونی واقع در یک طرف مورب کمتر از 180 درجه باشد، اونگاه این دو خط یک‌دیگر را در همان طرف مورب تلاقی می‌نمايند.

شکل مشهورتر این اصل که امروزه در دبیرستان تدریس می‌شود و به اصل توازی اقلیدسی مشهور هست عبارت هست از: به ازای هر خط l و نقطهٔ p غیر واقع بر اون تنها یک خط مانند m وجود دارد چنانچه از p می‌گذرد و با l موازی هست.

این اصل را به این شکل نخستین بار جیرولامو ساکری طرح کرد.

چند جانشین دیگر برای این اصل پیشنهاد شده هست:

حداقل یک مثلث وجود دارد که مجموع سه زاویهٔ اون برابر با 180 درجه هست.


دو مثلث متشابه غیر متساوی وجود دارند.


دو خط مستقیم وجود دارند که همه جا از هم به یک فاصله‌اند.


بر هر سه نقطهٔ غیر واقع بر یک خط می‌توان دایره‌ای گذراند.


بر هر نقطهٔ داخل زاویه‌ای کمتر از 60 درجه می‌توان خط مستقیمی کشید که هر دو ضلع زاویه را قطع کند.


برای اصلاع بیشتر به اصل پلی‌فیر و اصل توازی اقلیدسی و اصل توازی هیلبرت مراجعه کنید.


3:

اصل توازی اقلیدسی

اصل پنجم اقلیدس که در کتاب اصول اقلیدس بیان شده هست و مناقشه برانگیزترین اصل از اصول پنج‌گانهٔ هندسهٔ اقلیدسی هست.

به سبب این که منجر به بیان اصل هم‌ارزی شد که در اون بیان می‌شود از یک نقطه خارج یک خط فقط یک خط به موازات اون می‌توان کشید.

به اصل توازی اقلیدسی مشهور شده هست.

از اون‌جا که نخستین بار جان پلی‌فیر این اصل را مطرح کرد به اصل پلی‌فیر هم مشهور هست.

اصل توازی هذلولوی و اصل توازی ریمانی در سده‌های اخیر هندسه‌های جدیدی را به وجود آوردند که به هندسهٔ هذلولوی یا هندسهٔ لباچفسکئی و هندسهٔ ریمانی یا هندسهٔ بیضوی مشهورند.


اصل پلی‌فیر

شکلی از اصل پنجم اقلیدس که توسط جان پلی‌فیر فیزیک‌دان و ریاضیدان اسکاتلندی ابداع شد.

البته پروکلوس در قرن پنجم میلادی نیز این اصل را کم و بیش به همین شکلی که پلی‌فیر بیان کرده هست.

بیان کرده بود.


اصل توازی هذلولوی

خطی مانند ‌l و نقطه‌ای مانند p ناواقع بر l وجود دارد چنانچه می‌توان حداقل دو خط متمایز p رسم کرد که با l موازی باشند.



هندسه‌ هذلولوی یکی از هندسه‌های نااقلیدسی هست که به هندسه‌ لباچفسکی نیز مشهور هست.

نام انگلیسی این نوع هندسه, یعنی (Hyperbolic), از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن" گرفته شده هست که در اون فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها در اصل توازی افزایش می‌یابد.


4:

این مطالب رو توی یکی از سایت های ریاضی خوندم بد نیست شما هم یه نگاهی به اونها بندازید .



آری این همان جمله معروفی هست که بر سر در باغ افلاطون که در اون باغ بحث های علمی و فلسفی صورت می گرفت نوشته شده بود.در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند.

وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد».

این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن پايه ی ریاضیات هست همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا اون وقت در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد اونها بکار برد.


علوم بالاخص علوم رباضی مقدس و پاک هست بر کسی پوشیده نیست که تمامی علوم در روند تکاملی خود به سوی یک هدف حرکت می نمايند و اون هدف مقدس و پاک هست.

کم نیستند به ظاهر دانشمندان و دانش پژوهانی که از کل علم به اندازه (ع) اون بیش نمی دانند اما خودشان را اونگونه گم می نمايند که نعوذ باا...

خیال می نمايند خدا شده اند.

چه بسیارند عالمان جاهلی که به جای یادگیری درس تواضع و اخلاق باعث آلوده شدن حریم مقدس علم و عالم می شوند.

خدا کند که من و شما به اینگونه نباشیم!
آری یکی از دلایلی که افلاطون در اون وقت این جمله را نوشت را در پاراگراف بالا آوردم.


من هم مایلم این جمله را بنویسم که:
ریاضیات علمی پاک هست، اگر عاشقش نیستید واردش نشوید!

5:

استقرا (induction): هستقرا یعنی رسیدن به نتیجهٔ کلی از طریقِ مشاهداتِ جزیی و مکرر.

این نوع از هستدلال با هستنتاج فرقِ پايه ی دارد، زیرا می‌توان از جزیی به کلی رسید، با داشتنِ مقدمات نتیجه ضروری نمی‌گردد، و می‌توان از مقدماتِ صادق به نتیجهٔ کاذب رسید.

به مثالِ زیر توجه کنید:

حسن ملی‌گرا هست.

علی ملی‌گرا هست.

رضا ملی‌گرا هست.

نتیجه: همهٔ ایرانی‌ها ملی‌گرا هستند.

همان‌طور که دیده می‌شود با وجودِ مقدمات نتیجه ضروری نمی‌گردد.

تنها نوعِ هستقرا که در اون چنین ضرورتی وجود دارد هستقرایِ کامل هست: فرض کنید در اتاقی ده نفر حضور دارند و فرض کنید یک نظرسنجی از همهٔ اون‌ها نشان می‌دهد که همه ملی‌گرا هستند.

دراین‌صورت می‌توان فرمود: «همهٔ افرادِ این اتاق ملی‌گرا هستند».

این نتیجه‌گیری با این که از جنسِ هستنتاج نیست اما ضرورتاً صحیح هست.

اما در بیش‌ترِ موارد دسترسی به همهٔ موارد وجود ندارد، بویژه اگر موضوعِ موردِ بررسی بتواند در آینده نیز پیش آید.

حتی اگر همهٔ کلاغ‌هایِ امروزی را دانه به دانه بررسی کنیم و مشاهده کنیم که همگی سیاه هستند نمی‌توان نتیجه گرفت که «همهٔ کلاغ‌ها سیاه هستند» زیرا این حکم کلاغ‌هایِ آینده را نیز شامل می‌شود.

در ادامه اشکالاتِ هستقرا و هستقراگرایی را بررسی خواهیم نمود، اما در این‌جا اشاره به این نکته مفید هست که با وجودِ همهٔ اشکالات اگر هستقرا نباشد احتمالاً یکی قوی‌ترین راه‌هایِ به دست آوردنِ گزاره‌هایِ کلی از دست می‌رود، و چنانچه این گزاره‌ها نباشند احتمالاً مصادیقِ زیادی از هستدلال‌هایِ هستنتاجی نیز از بین می‌روند (زیرا در هستنتاج مقدمات کلی هستند).

3-ربودن (abduction): «ربودن» در واقع نوعی حدس زدن هست.

این نوع از هستدلال در تقسیم‌بندیِ ارسطو وجود ندارد، اما در فلسفهٔ علمِ جدید بسیار اهمیت دارد.

نامِ دیگرِ این هستدلال هستنتاجِ بهترین تبیین هست.

تبیینِ (explanation) یک پدیده عبارت هست از بیانِ علل و عواملِ رخ دادنِ اون پدیده بطوری که رخ دادنِ اون توجیه گردد.

از دیدِ بسیاری از فلاسفه یکی از اهدافِ پايه ی و محوریِ علم بطورِ کلی تبیینِ پدیده‌ها ست.

ربودن یا هستنتاجِ بهترینِ تبیین عبارت هست از رسیدن به یک (بهترین) فرضیه از یک مجموعه از مشاهدات.

این هستدلال به این ترتیب هست:

مشاهدهٔ O بربرنامه هست.

فرضیهٔ H مشاهدهٔ O را تبیین می‌کند.

فرضیهٔ H بهترین فرضیه از میانِ رقیبان‌اش هست.

نتیجه: H صادق هست.

این شکلِ هستدلال - که بحث‌هایِ مفصلی را در فلسفهٔ علم به خود اختصاص داده هست-، نیز از نوعِ هستدلال‌هایِ غیرِالزام‌آور هست، یعنی داشتنِ مقدمات داشتنِ نتیجه را ضروری نمی‌کند.

روش‌شناسیِ هستقراگرایانه

حال که با ماهیتِ هستدلالِ هستقرایی آشنا شدیم می‌توانیم ببینیم هستقراگرایی به چه معنا ست.

مسلم هست که در علم از هستدلالِ هستنتاجی هستفاده می‌شود.

تمامِ هستدلال‌هایِ منطقی و ریاضی - که مثلاً در فیزیک کاربردِ عمده دارند - از جنسِ هستنتاج هستند.

اما دیدیم که هستنتاج نمی‌تواند برایِ ما قوانینِ کلی پدید آورد (ممکن هست فرموده شود قوانینِ منطق کلی هستند؛ اما اولاً این قوانین بر هستنتاج حاکم اند نه این که خود مبتنی بر هستنتاج باشند، و ثانیاً این قوانین غیرِ تجربی اند، در حالی که قوانینِ فیزیک تجربی اند).

پس علوم قوانینِ کلی را از کجا می‌آورند؟ باید چیزی بیش از هستنتاج بر علم حاکم باشد، وگرنه علمی وجود نخواهد داشت.

فرانسیس بیکن فیلسوفِ قرنِ شانزدهمِ میلادی نخستین کسی بود که هستقرا را پیشنهاد داد.

او معتقد بود که:

1.

هستقرا باید در علومِ طبیعی به کار رود تا قوانینِ کلی پدید آیند.

2.

هستقرا یک شیوهٔ هستدلالِ موجه و معقول هست.

بیکن به دانشمندانِ آینده توصیه نمود (در وقتِ بیکن در واقع هنوز دانشمندی به معنایِ مدرن وجود نداشت، و به‌همین‌دلیل شاید بتوان بیکن را پیامبرِ علم نامید) که هرچه می‌توانند داده جمع‌آوری نمايند، و جداولی طراحی نمايند که این داده‌ها بطورِ منظم در اون‌ها برنامه داده شده‌اند.

بدین‌ترتیب قانونِ علمی خود‌به‌خود از دلِ داده‌ها بیرون خواهد آمد.

در واقع می‌توان نظمِ حاکم بر داده‌ها را کشف نمود و سپس اون را در یک هستدلالِ هستقرایی تعمیم داد.

هدفِ علم از نظرِ بیکن دو چیز بود: علمِ مطلق و قدرتِ مطلق.

دو آرزویِ بزرگی که علم برایِ بشر برآورده خواهد نمود.

مثال‌هایی از اکتشافاتِ علمی در تاریخ وجود دارد که گویا کاملاً با روشِ بیکن انجام شده‌اند.

تیکو براهه منجمِ هلندی که هستادِ کپلر فیزیکدانِ مشهورِ آلمانی بوده هست رصدهایِ متعددی دربارهٔ مکانِ سیاراتِ منظومهٔ شمسی انجام داد که داده‌هایِ فراوانِ حاصل از اون‌ها پايه ِ قوانینِ سه‌گانهٔ کپلر را فراهم آورد.

پوزیتیوست‌هایِ منطقی به معنایِ دقیقِ کلمه «استقراگرا» نبودند، مگر اون که واژه را به معنایِ متفکری به کار بریم که صرفاً هستقرا را مجاز می‌داند، و دربارهٔ مبانیِ منطقیِ اون تئوری می‌پردازد.

مشکلاتِ هستقراگرایی

هستقراگرایی با وجودِ جذابیت‌اش دچارِ مشکلاتِ بسیاری هست.

دیدیم که بیکن دو اعتقاد دربارهٔ هستقرا داشت.

این دو اعتقاد در پیروانِ بعدیِ وی نیز باقی ماند.

اشکالاتِ عمدهٔ این روش‌شناسی بتبعِ این دو گزاره به دو دسته تقسیم می‌گردند:

۱- ساده‌ترینِ این مشکلات جور در نیامدنِ این روش‌شناسی با تاریخِ علم هست.

براستی مثال‌هایی از تاریخ که هستقراگرایی را تأیید نمايند چقدر هستند؟ می‌دانیم که نیوتن موفق شد نظریه‌ای بپردازد (نظریهٔ جهانیِ گرانش) که هر سه قانونِ کپلر و قوانینِ گالیله در موردِ سقوطِ آزاد را هموقت به دست دهد.

این کشف بعلاوه توضیح می‌داد که چرا معقول هست فکر کنیم که زمین دورِ خورشید می‌گردد، و ضمناً علتِ جذبِ اشیا توسطِ زمین و علتِ گردشِ اجرام به دورِ یکدیگر را به یک علتِ واحد کاهش می‌داد.

آیا نیوتن قانونِ جهانیِ گرانش را با نگاه به داده‌هایِ تجربی به دست آورد؟ آیا واقعاً خیره شدن به داده‌هایِ تیکو براهه یا قوانینِ کپلر ما را به قانونِ نیوتن می‌رساند؟ دراین‌صورت چرا خودِ کپلر اون را کشف نکرد؟ افسانهٔ عامیانه‌ای که در موردِ نیوتن هست بخوبی توضیح می‌دهد که این‌طور نیست (این که خوردنِ یک سیب به سرِ نیوتن او را به این کشف رساند).

به نظر می‌رسد که نظریهٔ نیوتن بر داده‌هایِ تجربی هستوار نبود، بلکه او ابتدا نظریه‌اش را داد و سپس به دنبالِ داده‌هایِ تجربی برایِ تأییدِ اون رفت.

پس نظریهٔ فرانسیس بیکن ادعا می‌کند که روشِ کشفِ همهٔ دانشمندان از طریقِ هستقرا هست، اما تاریخ این امر را تأیید نمی‌کند.

مثالِ معروفِ دیگر در این زمینه ککولهٔ شیمی‌دان هست.

این دانشمند که فکرش مدت‌ها مشغولِ ساختارِ ملکولیِ ماده‌ای شیمیایی به نامِ بنزن بود، و از داده‌هایِ تجربی راه به جایی نمی‌برد، یک روز در خواب توانست ساختارِ شیمیاییِ بنزن را کشف کند! اینشتین نظریهٔ نسبیت (هم خاص و هم عام) را نه بر پايه ِ هیچ داده یا آزمایشی بلکه برایِ حلِ برخی مسایلِ صرفاً نظری که سلیقهٔ او را آزار می‌داد اختراع نمود.

مثال‌هایی از این دست در تاریخ فراوان اند.

بنابراین به نظر می‌رسد که باورِ نخستِ هستقراگرایی دچارِ مشکلاتِ تاریخی هست.

۲- آیا هستقرا روشی موجه و معقول هست؟ یکی از بزرگ‌ترین فلاسفه‌ای که نادرستیِ این باور را نشان داد و به فرمودهٔ راسل تا مدتی موجبِ بی‌اعتبار شدنِ علم گردید دیوید هیومِ انگلیسی بود.

هیوم از فیلسوفانِ تجربه‌گرا و شاید مهم‌ترینِ ایشان بود.

او در کتابِ رساله در بابِ طبیعتِ بشری تجربه‌هایِ حسیِ اولیه را نخستین منشأ هرگونه دانشی دربارهٔ جهان می‌داند و وجود هر دانشی که بطورِ پیشینی و خارج از تجربه در ذهن باشد را انکار می‌کند.

او با جان لاک هم‌عقیده هست که ذهن در آغاز لوحِ سفیدی هست.

هیوم این مسأله را مفصلاً تحلیل می‌کند که تصورات، احساسات و باورهایِ مختلفِ انسان چگونه از حسیاتِ اولیه آغاز گشته و طیِ فرایندهایِ روانی کلیت یافته و یا تعمیم می‌یابند.

او بویژه با تحلیلِ دو مفهومِ مهمِ علیت و هستقرا تاریخِ فلسفه را تحتِ تأثیرِ خویش برنامه داد.

هیوم بر این باور بود که هستقرا یک فرایندِ صرفاً روانی هست.

نه منطقاً و نه بطورِ تجربی نمی‌توان هستقرا را موجه جلوه داد:

بطورِ منطقی: این که تا کنون هر روز خورشید طلوع کرده هست منطقاً هیچ ارتباطی به این امر ندارد که فردا هم طلوع کند.

همان‌طور که یک جوجه ممکن هست فکر کند که زنِ مزرعه‌دار هر روز به او غذا می‌دهد، اما سپس چند سال یک روز زنِ مزرعه‌دار مثلِ هر روز سر برسد با این تفاوت که این بار سرِ جوجه را ببرد.

هستقرا صرفاً یک فرایندِ روانیِ ناموجه هست.

بطورِ تجربی: شاید ادعا شود که می‌توان هستقرا را با تجربه موجه نمود.

می‌توانیم بگوییم که دانشمندانِ علومِ طبیعی از هستقرا هستفاده نموده و می‌نمایند و این کار بسیار برایِ علم مفید بوده هست، پس هستقرا مفید و موجه هست.

اما اگر یک بارِ دیگر این هستدلال را تحلیل کنیم می‌بینیم که دچارِ دور هست زیرا در خودِ اون از هستقرا هستفاده شده هست.

پس دیدیم که هستقراگرایی مشکلاتی دارد.

البته واضح هست که همواره می‌توان برایِ جواب به انتقادها تلاش نمود و نمونه‌هایِ پیشرفته‌تری برایِ نظریه یافت که مشکلاتِ سابق را نداشته باشد.

پس از هیوم هستقراگرایی نابود نشد، بلکه نمونه‌هایِ پیشرفته‌تری از اون (بویژه در قرنِ بیستم بتوسطِ پوزیتیویست‌ها) پدید آمد.
منبع:
آقای علی آل کثیر
societymath85.blogfa
موفق باشید.



82 out of 100 based on 52 user ratings 1252 reviews

@